一、柯西序列的定义
设{xn}是距离空间X中的点列，如果对于任意的ε>0，存在自然数N，当m,n>N时，d(xm,xn)<
ε，称{xn}是一个Cauchy列
二、1/n为什么不是柯西列
n越大越远。柯西序列是指一个这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近，1/n是n越大越远，柯西序列更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数，柯西列是以数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名的。
三、什么是柯西准则
柯西准则：在大于某个特定的项数n之后，任选两个项的绝对值总会小于一个数(该数值不确定，但恒大于零)，则这个数列就是基本数列(收敛数列)。
数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n > N时，且m≠n，有
我们把满足该条件的{x}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{x}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。
该准则的几何意义表示，数列{x}收敛的充分必要条件是：该数列中的元素随着序数的增加而愈发靠近，即足够靠后的任意两项都无限接近。
扩展资料：
柯西准则证明
1、必要性
设
，则
，当m,n>N时，有
那么，
2、充分性
由于数列的柯西收敛准则是实数连续性的体现之一，所以用实数公理——戴德金定理证明{xn}收敛。
首先证明柯西序列是有界的。根据柯西序列的定义，对任意ε>0，存在正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε。
于是取m=N+1，则当n>N时，|xn-xN+1|<ε。
解得xN+1-ε
向上述数列中添加{xn}的前N项得到{xn}本身，则由于前N项都是确定的实数，不会改变{xn}的有界性（即使此时{xn}的上、下界发生变化）。故对任意正整数n，{xn}都是有界的。
其次证明柯西序列收敛。设{xn}⊆[a,b]，有一个实数集A，A中的任一元素c满足：区间(-∞,c)中最多有{xn}中的有限项（注意用词“最多”，意味着可以有0项），而{xn}中的无限项都落在[c,+∞)。并把A在R中的补集设为B，则：
①由取法可知a∈A，并且显然b∈B。即A和B都是非空数集。
②A∪B=R。
③根据集合A、B的定义，A中任意元素都小于B中的任意元素。
由戴德金定理得，存在唯一实数η，使η要么是A中的最大值，要么是B中的最小值。
因为η是A和B的分界点
所以
④由A的定义可知，
根据已知条件，当m,n>N时，|xn-xm|<ε
于是xm-ε 也就是当n>N时，不等式|xn-η|<2ε成立 所以 参考资料来源：百度百科-柯西极限存在准则 柯西收敛原理”是数学分析中的一个重要定理之一，这一原理的提出为研究数列极限和函数极限提供了新的思路和方法。 在有了极限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（Cauchy）获得了完善的结果。下面我们将以定理的形式来叙述它，这个定理称为“柯西收敛原理”。 定理叙述： 数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立 将柯西收敛原理推广到函数极限中则有： 函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立 此外柯西收敛原理还可推广到广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。 证明举例： 证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限 证：对于任意的m,n属于正整数，m>n |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m | 当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m | <1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m =（1/n-1/m）→0 由柯西收敛原理得{xn}收敛 当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m | <1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m =(1/n-1/(m-1)-1/m）→0 由柯西收敛原理得{xn}收敛 综上{xn}收敛，即{xn}存在极限 柯西分布是一个数学期望不存在的连续型概率分布。当随机变量X满足它的概率密度函数时，称X服从柯西分布。柯西分布也叫作柯西一洛伦兹分布，它是以奥古斯丁-路易-柯西与亨德里克-洛伦兹名字命名的连续概率分布。 扩展资料 柯西分布具有如下特点： 1、数学期望不存在。 2、方差不存在。 3、高阶矩均不存在。 4、柯西分布具有可加性 根据柯西序列的定义，对任意ε>0，存在正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε。 于是取m=N+1，则当n>N时，|xn-xN+1|<ε。 解得xN+1-ε 向上述数列中添加{xn}的前N项得到{xn}本身，则由于前N项都是确定的实数，不会改变{xn}的有界性（即使此时{xn}的上、下界发生变化）。故对任意正整数n，{xn}都是有界的。 参考资料来源：搜狗百科-柯西分布四、柯西数列的定义是什么?
五、什么是柯西分布?
